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  1. IIR滤波器简介

  1.3 双二阶IIR滤波器

在频域中，IIR滤波器的响应由系统的传送函数表征。换言之，传送函数是滤波器的输入到输出行为的数学表达。

  1.3.1 滤波器阶数和级联双二阶

  IIR传送函数表示为复频率的多项式之比;其中分子包含系统的零点，分母包含系统的极点。传送函数中零点和极点的数量决定了系统的滤波器阶数，零点和极点的值则描述滤波器的频率响应。

双二阶滤波器是二阶滤波器，包含两个极点和零点。高阶滤波器通常是必需的，因为它们可以实现更急剧的频率衰减，但它们对系数量化更敏感，因此有可能变得不稳定。这对于双二阶滤波器来说没什么问题，因此高阶滤波器通常被实现为一系列级联的双二阶部分。

  1.4 IIR滤波器规范

滤波器设计是将一组需求转化为定义明确的数值算法的过程。IIR滤波器规范是根据所需的频率响应、模拟设计和结构制定的。

  1.4.1 滤波频率响应类型

  如前文所述，数字滤波器作用于输入信号的频率响应，以创建在特定频率范围内响应有增强或减弱的输出。滤波器的常见频率响应包括以下类型：

  低通低通通滤波器可将低于指定截止频率的频率传递到输出，同时阻止高于截止值的频率。

  高通 高通滤波器可将高于指定截止频率的频率传递到输出，同时阻止低于截止值的频率。

  带通 带通滤波器是高通滤波器和低通滤波器的组合。介于两个指定截止频率之间的任何频率都将传递到输出信号，而在指定频带之外的频率将被阻止。

  带阻 带阻滤波器是低通滤波器和高通滤波器的组合。介于两个指定截止频率之外的任何频率都将传递到输出信号，而在指定频带内的频率将被阻止。

图1. 四种频率响应

  1.4.2 模拟滤波器的类型

由于数学上的限制，不存在用于设计IIR滤波器的最佳程序。IIR滤波器遵循现有模拟滤波器设计的既定设计程序而制造。模拟滤波器算法的值经过略微调整，即可实现所需IIR滤波器的频率和相位的设计规范。MATLAB等DSP数值软件是计算优化启发式的强大工具，可根据您所需的规范设计最佳IIR滤波器。

  通常提供的一种规范是IIR滤波器用作基准的模拟滤波器设计。MATLAB提供了四种模拟滤波器设计方法选项，下文对每种方法进行了进一步解释：

  巴特沃斯

  关键特性：

  • 通带或阻带无纹波

  • 通带到阻带频率的衰减最不急剧

• 相位失真适度

  切比雪夫I

  关键特性：

  • 通带有纹波，阻带无纹波

  • 频率衰减比巴特沃斯滤波器急剧

  • 组延迟差

切比雪夫II(反切比雪夫)

  关键特性：

  • 通带无纹波，阻带有纹波

• 频率衰减比巴特沃斯滤波器急剧，但不如切比雪夫I滤波器急剧

  椭圆

  关键特性：

  • 通带和阻带均有纹波

• 频率衰减最急剧

  比较

  下图描述了以相同规范配置时不同模拟滤波器设计的频率响应。注意通带和阻带纹波的差异以及频率衰减的急剧程度。

图2. 给定相同滤波器规范时模拟滤波器频率响应的差异

  1.4.3 IIR滤波器架构

  如前文所述，滤波器的响应通过系统的传送函数来表征，可以将其分解为具有以下常规形式的一系列双二阶函数：

  分子包含前馈系数，分母包含反馈系数。

  每个双二阶IIR滤波器的操作由以下差分方程定义：

一个双二阶IIR滤波器操作称为级，级联的级称为通道。

  直接2型转置结构

  基于此等式中各项的排列，存在用于实现双二阶数字滤波器的各种不同算法结构或架构。IIRFA外设实现了直接2型转置滤波器，这是一种具有最少延迟元素的规范形式。

图3. 级联的级形成通道